微积分略讲（6）
数学和计算机科学板块_辛酸网
By TSherry
如何找极值？令一阶导数等于0，然后让二阶导数大于0，得极小值； 二阶导数小于0，得极大值。所以对于二阶可导的函数而言，除了常函数外， 一阶导数等于0的时候，函数值就一定是极值吗？答案是否定的， 因为除了二阶导数大于或是小于0，还有等于0的情况。 这就是凸凹性发生变化之处，对应的函数图像的点叫做拐点。 也就是说，在拐点处函数图像不凸不凹。 值得一提的是，拐点和以前我们学过的各种点不同， 零点、极值点、驻点都是一维点，实际上是函数图像上某点的横坐标， 都是拐点却是二维点，就是在函数图像上的某点。
哦，这次就扯到驻点了。所谓驻点， 就是指使得导函数等于0的自变量的值。或者这样理解：拐点的横坐标， 极值点，统称驻点。
微分是微积分领域中三大基本概念之一（另外两个分别是极限和积分）。 大家有没有想过，自己拿笔画的曲线是真正的曲线吗？ 我现在让你画一个圆，画一条抛物线，然后你画了出来。虽然说是曲线， 但是如果拿显微镜去仔细观察的话，相信你画的曲线肯定不是真正的曲线。 它不可能是那种无论你放大多少倍都不能在其中发现有直的部分的线， 那实在是太理想化了。不过数学研究的很多内容都是理想化的， 因为不少东西近似地就是可以这样认为。那假设我们画一条很理想的曲线， 它处处都是弯的，找不到直的地方。倘若它恰好是一个可导函数的图像， 例如y=f(x)，当我们得知点(x0,f(x0))在其上时， 如何推出在附近的函数值呢？
我们可以用平均变化率呀。导数可是一个强有力的工具。比较麻烦的情况是， 函数y=f(x)在这个邻域里导数值会变。要是一次函数或是常函数就好办了，那 斜率和自变量差值△x一下子就能算出来。可现在导数值万一会变怎么办呢？ 不急，我们画x0处的切线，按照x和x0的差值△x， 把这一段的导数都当成是等于切线斜率来算，就能得到一个函数值。这个值， 显然是切线对应的一次函数的函数值，而不是f(x)的。 但是当x和x0足够接近，就能近似代替。（除非x0 是极值点，那我也没办法喽。）这样的过程叫做微分。如果用A来表示点 (x0,f(x0))的切线斜率，那么有△y=△f(x)=A△x+o(△x)， 其中o(△x)是高阶无穷小，A△x叫线性主部。
上面介绍了微分的动词含义，现在简单介绍一下它的名词含义。上面那个式子， △x是自变量x的一个很小很小的增量，说得辩证法一点， 就是既等于0又不等于0的微元，它叫做自变量的微分，也记作dx。 而因变量也有其微分，也是一个差值。但是这个差值和 △y=f(x)-f(x0)不同，它是基于微分的动词含义而存在的， 对，就是线性主部——A△x，也记作dy。由于o(△x)是一个△x的高阶无穷小， dy和△y成为了等价无穷小。所以在实际运算是，若是dx→0，那么这两个东西， 即使不是同一个东西，也变得相等了。至于A，也就是f'(x0), 它等于dy/dx。这就是我们在学习导数的定义时为什么会有dy/dx这样的表示。
顺便说一句，微分的四则运算同导数的四则运算是一致的， 但是微分的复合函数运算有一个自身的法则。例如，我们以y为因变量， u为自变量，设y=f(u)并且可导。设dy/du=m，我们说dy=mdu。那好， 我们再设一个可导函数u=g(x)，这样一来y也成了x的函数，而且是复合函数。 设du/dx=n，那么显然，有dy/dx=mn成立。于是，dy=mndx。把du=ndx代入， 得dy=mdu。这恰好满足了dy/du=m,和最初的那个式子是吻合的。 然后你就会想，诶，这不是废话吗？对呀！这就是一句废话啊！ 这般具有自洽性的论述表明，dy=mdu是肯定成立的，不会因为在某个问题中， dy和du是自变量、中间变量、还是因变量而发生改变。 史称一阶微分的形式不变性。一看这表述，一阶，难道还有二阶？嘿，还真是。
就像导数有一阶，有二阶一样，微分也有一阶，有二阶。 高阶导数是导数之导数之导数……而高阶微分则是微分之微分之微分之…… 以高阶可微函数y=f(x)为例，因变量的微分是dy，其微分之微分自然就是d(dy)， 只不过我们一般把它写作d2y，再微，就是d3y。 n阶便是dny，只不过和高阶导数不一样的是，n不加括号罢了。 用高阶微分除以自变量，有几阶就除以几回，这便是高阶导数的值。 所以高阶导数也写作dny/d(xn)， 反过来写就是dy=f(n)d(xn)。
遗憾的是，见过一番科学研究， 人们发现高阶微分没有形式不变性。 为什么会这样呢？起初我也很懵， 因为客观事物的存在不以人的认知方式而转移，无论u是自变量还是中间变量， y都是u的函数。但是后来查了资料才发觉不对劲——如果我们用同一个表述， 但讨论的事物压根就不是同一个东西呢？此du非彼du。在微积分中， 自变量的微分是一个常数，它代表一个非常微小的增量，正因如此， 才能根据因变量的差值比较函数值增减的快慢。 就像是相同时间比位移来研究速度一样，只不过这里的时间是相当短的。 所以，当我们视u为自变量时，du是一个和u无关的常数， 而m是往往是会变的导数，所以dy是可变的。那么同理，把u看做是x的函数， dx成立常量，n和du成了变量。于是这个du和上一个du并不是同一个东西， 其规律也就不完全一致了。
我们研究了大半天函数，不过多数情况下都是研究y=f(x)的形式的函数。 有的函数，其表达式可能长得不是这个样子，参数方程就是一类。如果说， 自变量和因变量都是另外一个东西的函数，知道了这个东西的值， 就知道了自变量和因变量。一般地，当x和y分别为t的函数φ(t),ψ(t), 则将方程组 称为参数方程。其中y可能是x的函数，也可能不是。 而将参数方程化为普通方程的过程，叫做消参。
理解了什么是参数方程，我们再来看隐函数。除了上述两种形式，有时函数还会以 关于x和y的方程的形式出现。（不包括 y=关于x的表达式 这种，这属于第一种） 经过移项等操作后可以化为F(x,y)=0的形式。左边是关于x和y的表达式，右边是0。 这时y关于x的函数就是一个方程确定的函数。但是并非随意写出这么一个方程， 就能对应地有这么一个函数，有没有函数且两说，说不定关于(x,y)的一组解都找不到。 只不过知道了第一种形式下的函数，一定能写出这样的方程而已。就算别的我不会， 至少一句y-f(x)=0也该能凑个数吧。
好，现在给你这么一个方程F(x,y)=0，让你求出这个函数的解析式，如果能求出， 就管这个函数叫显函数，因为经过一定的手段你是能看见的。如果求不出，那就是隐函数， 因为你看不见解析式。那么为什么有时你会看不见解析式呢？也许是问题太难了， 解不出，也许是它本来就没有那样一个解析式。要是这个解析式别人能解出你解不出， 那对别人来说，在解出以后它就是个显函数，对你来说便是隐函数。也就是说， 看见了y=f(x)到底是啥样的就是显函数，还没有看见或者看不见的，甚至没有的， 都是隐函数。然而，无论是隐函数还是显函数，都可以或者已经得知了这么一个方程 F(x,y)=0。
隐函数怎么求导？给你一个隐函数，你要是第一时间能显化了，那我啥也不说。 但万一显化不了怎么办？这时，关于隐函数我们所具有的最主要的信息正是那个方程。 我们就对它下手。我们不知道解析式，但仍然想要得知y对x的导数， 不过这时有一个邪恶的问题，就是一旦已知了x的值，代入其中就知道y的值， 所以我们不必像解析式那样只用x表示导数，而是可以用x和y来共同表示。 说到这里，也许有人会想，显函数不也是已知x就可以求y了吗？为什么那里只用x？ 这个是因为只用x的话比较简单，省劲。但是现在我们把x，y都用上反而是省劲的。
再想想，y和y'都是x的函数。所以只关于这二者的式子， 凡是只要知道y和y'就能推出整体的值的，也同样都是x的函数。 类似的，凡是只关于x，y的这样的式子，不也是x的函数吗？ 那么上何处找这样的式子呢？有吗？有！方程啊！就是那个F(x,y)=0的那个！ 两边都是关于x的函数，而且左侧还有y，所以可以对x求导。 然后得到只关于x,y,y'的式子，用x和y表示导数，解出来，这就是答案。