高数略讲（7）

参数方程求导法则

  参数方程中的x和y是函数关系吗？不一定啊。不过如果在二维平面中， 我们取一片足够小的地方（之前说过，这是二维领域）就能发现在这片地方里， x和y是有函数关系的。当然这个函数关系恐怕只在这一小片地方适用。 如果参数方程可以真的确定一个可导函数，我们就对它求导， 不是函数而局部可导的话，我们就研究它局部的变化率。 由此开始对参数方程的求导。现在我们假设参数方程 $\begin{array}{cc}\{\begin{array}{}x=\mathrm{\phi (t)}\\ y=\mathrm{\psi (t)}\end{array}& \mathrm{（t为参数）}\end{array}$
确定了y关于x的可导函数f(x)，且x和y关于t的函数都可导，附加一句x≠0， 要不然就不讲武德，没法说啊。那么显而易见， $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{dy/dt}}{\mathrm{dx/dt}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\phi \text{'}(t)}}{\mathrm{\psi \text{'}(t)}}$。 上下同除以dt就能得到y对x的导数了。只是，我们怎么表示导数呢？一句废话是， 导数f'(x)即为dy/dx。那么现在我问，y'是什么？呵呵，这就容易出事了。你看， y是x的函数不假吧？y也是t的函数不假吧？这玩意里写了什么是自变量了吗？没。 那你说它是个啥？dy/dx？dy/dt？所以说，在这里还是用dy/dx的好，否则容易产生歧义。

  来，我们再从导数的定义入手，在这种情景下，φ(t)可导，那就连续，△t→0是△x→0的充分条件； ψ(t)可导，那就连续，△t→0是△y→0的充分条件。而f(x)也可导吧？△x→0时，△y→0。 对于上面的假设出来的参数方程是这样的。那么，如果取消假设， 是不是对于所有上述形式的参数方程，当△x→0时都有△y→0呢？肯定不是。也就是说， 我们的假设保证了f(x)的连续。因为我们的假设里有一条f(x)可导。不过我们再想一想， 对于所有上述形式的参数方程，要是φ(t)与ψ(t)可导，再添加什么条件就有f(x)可导呢？

$\mathrm{\phi \text{'}(t)}=\begin{array}{c}\lim \\ \mathrm{△t\to 0}\end{array}\frac{\mathrm{△x}}{\mathrm{△t}}\mathrm{\psi \text{'}(t)}=\begin{array}{c}\lim \\ \mathrm{△t\to 0}\end{array}\frac{\mathrm{△y}}{\mathrm{△t}}$

  可导就一定连续。f(x)可导是需要在△x→0时△y→0的，而△t→0时△y→0。所以，只要保证△x→0时， △t→0即可。于是乎，x是t的函数，t也是x的函数，而且是原来的反函数。不仅如此， 这个反函数还是连续的。这样，y就成为了x的复合函数y=ψ[φ^-1(x)]。 这个复合函数，一定可导。按照复合函数的求导法则，我们能发现另一个参数方程求导得思路： dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)

费马引理和罗尔定理

  嚯，现在进入恶心区了，接下来的内容一个比一个恶心。 下面介绍两句关于可导函数f(x)的废话。我们之前说过，f'(x)＞0则f(x)单调递增， f'(x)＜0则f(x)单调递减。那么等于0呢？不增不减。要是一瞬间的不增不减，那就成极值点了。 这些我们以前都说过，都知道。但是反过来呢？如果可导函数上有极值点， 那么此处的导函数值应该取多少呢？假设f(x)在x=x₀处有极大值， 则左边很小的范围内应该有x＜x₀且f(x)＜f'(x₀)的。 在左边很近的地方画割线,由极限的保号性得：

$\mathrm{f\; \text{'}\; (}{x}_0\mathrm{)=}\begin{array}{}\lim \\ \mathrm{x\to <msubsup><mi>x</mi><mi>0</mi><mi>-</mi></msubsup>}\end{array}\begin{array}{}\frac{\mathrm{f(x)-f(}{x}_0)}{\mathrm{x-}{x}_0}\end{array}\ge 0$

  同理，在右边画割线可得f'(x₀)≤0。这么一番讨论， 就知道f'(x₀)=0。这个结论便是第一句废话，被称为费马引理。 现在看另一句废话。对于连续函数的定义区间而言，我们已经得知， 所有的函数值里肯定有一个最大的，有一个最小的，甚至最值点还不止一个。 可导函数是连续的，所以可导函数在定义区间上也一定有最值。

  那好，我们做两个假设：一个函授中区间端点上函数有定义，且闭区间连续， 开区间可导，另外它还满足区间端点处的函数值相等。如果一个函数符合这样的假设， 那函数就不可能严格单调。先单调递增了，后面就必须单调递减；先单调递减了， 后面就必须单调递增。这样才能保证÷末函数值相等。那中间一定有不增不减的地方， 没错，就是极值点。刚好费马引理说了极值点的导数等于0。由此可见第二句废话： 闭区间连续，开区间可导的函数，必有在开区间内的导数等于0的点。
 这就是罗尔定理。

拉格朗日中值定理

  在罗尔定理中我们是令函数值在区间端点上相等，可如果不等呢？在其它条件不变下， 还是在[a,b]连续，在(a,b)可导，把图像端点连起来试一试。看看，你发现了什么？ 现在这条直线斜率不等于0了，我们也就无法保证存在极值点。但是，关注图像上各点， 可以看出是存在切线与之平行的点的。既然平行，我们就把这个定理表述为：

如果函数f(x), 在[a,b]连续，在(a,b)可导，那么必然存在x₀∈(a,b)， 使得f'(x₀)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

  此之谓拉格朗日中值定理。现在我们想想怎么证明。其实我在这时也忘了， 还是查了百度才知道是这样证明的。导数等于斜率，第一反应是感觉这个设 g(x)=f'(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a)，让它等于0，再利用零点存在定理去尝试。呵！失败了。 从导函数的层面上直接着手，研究导函数本身不成，就退一个层级，在原函数上搞事情， 研究原函数的导数！但是导函数的层面上，有斜率相等来作为核心， 在原函数的层面上呢？我们用什么来描述切线和那条直线平行这有一个条件呢？ 既然斜率相等，就把那条直线设为函数h(x)=f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a)， 不就是相当于：两个函数的的导数相等吗？求两个函数的差，不就是差的导数为0吗？
  那好，我们就令F(x)=f(x)-h(x)，令F'(x)=0看看行不行。那么我们的问题就转化为； 证明存在x₀∈(a,b),使得F'(x₀)=0。

  你说哈，啥时候咱们能确保这样的F'(x₀)=0之情况一定存在呢？ 没错！就是上面已经提到的罗尔定理。要不然你以为我扯罗尔定理这玩意儿干啥。 那么F(x)在什么时候去相等呢？试一试，定睛一看，居然是x=a和b的时候。 F(a)=F(b)，这下实锤了。由此拉格朗日中值定理证明完毕。

  这里再抛出一个结论，但是证明过程不再赘述。其实我是忘了怎么证。 对于两个关于x的函数f(x)和F(x)，如果都满足在[a,b]连续，在(a,b)可导， 那么存在η∈(a,b)，使得

$\frac{\mathrm{f(b)-f(a)}}{\mathrm{F(b)-F(a)}}=\frac{\mathrm{f\text{'}(\eta )}}{\mathrm{F\text{'}(\eta )}}$

该结论叫做柯西中值定理。话说凡事一遇到柯西都会变得很难很难。

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