微积分略讲（5）
数学和计算机科学板块_辛酸网
By TSherry
| 下面的内容可能有所重复，因为有的函数特殊，要单独讨论 | |
|---|---|
| 常数C | 0 |
| 幂函数xn | nxn-1 |
| 1/x | 1/(-x2) |
| 指数函数ax | axlna |
| 对数函数logxa | 1/(exlna) |
| ex | ex |
| lnx | 1/x |
| sinx | cosx |
| cosx | -sinx |
| tanx | 1/cos2x |
| arcsinx | 1/(1-x2)0.5 |
| arccosx | -1/(1-x2)0.5 |
| arctanx | 1/(1+x2) |
| arccotx | -1/(1+x2) |
设有可导函数f(x),g(x),当x→x0时，在△x的自变量变化量下， f(x)和g(x)分别有自身的差值△f(x)和△g(x)，而函数[f(x)+g(x)]的差值为 △[f(x)+g(x)]=△f(x)+△g(x)。取平均变化率， 则[f(x)+g(x)]的是另两个的和。所以取极限， 可得其导数值对于前两个的和。倘若相减，同理，为差值。
和加减法不同，乘除法的法则比较复杂，是这个求导那个保留，
那个求导这个保留，分别相乘再相加。要是两个以上的函数相乘求导，
其结果为：轮番求导，其余保留，各自相乘，整体相加。
除法的法则是由乘法的法则推出来的。分子求导分母保留，
分母求导分子保留，分别相乘而减之，再除以分母之平方。
这就是导数的四则远算的法则。
[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]2
(g(x)≠0)
加减法的法则好记，因为原来怎么算现在还是怎么算。而乘法的不好记， 除法的更不好记。但是小学时大家都学过加法交换律，a+b=b+a, 这样的式子是对称的。然后再看导数的乘法法则，我们也不知道这个法则里， f(x)和g(x)到底哪个是a，哪个是b。换句话说，这个法则是对称的，无序的， 所以你只需要知道有一个求导，有一个不求导，然后反过来，再加起来。 多个函数相乘时只有一个求导罢了。你记错了也不要紧，反正它相等，没区别。
但是除法就不行了，因为你知道哪个是分子，哪个是分母。这个不能换顺序。
还记得前面说过的反函数吗？y是x的函数，x也是y的函数。 对调x与y，图像关于直线y=x对称。要是可导的话，我们就画一画图像的切线， 则切线在x与y分别相等时，也关于直线y=x对称。斜率嘛，就自然是互为倒数了。 一个是△y/△x，一个是△x/△y，相乘，当然等于1。
类似的，设想有一个函数u=f(x)和另一个函数y=g(u)共同构成了函数y=g(f(x))， 假设都可导，那么内层函数的导数为u'=f'(x),外层呢？以u为自变量， y作为因变量，导数是y'=g'(u)，用平均变化率来研究就是，内层是△u/△x， 外层为△y/△u，相乘，正好就是△y/△x。这，就是复合函数的求导法则： 内层导数和外层导数相乘，等于整体的导数。不过，这还只是二层的复合函数。 实际情况很可能要远远比这个复杂，有好几层。 这时，就需要各位能够做到金蝉脱壳，一层一层地脱出来，把对应的导数都乘了， 那就是答案。
导函数也是函数，所以有时导函数也有属于自身的导函数。变化也是一类值， 它也可以有变化之变化。当初我们把位移对时间求导得到了速度。 不过现实当中的机械运动很少有匀速直线运动，多数是变速运动，或是方向变了， 或是大小变了，反正就是变了。那么如何衡量速度的变化快慢呢？众所周知， 这个东西，叫加速度。位移和速度都是时间的函数，加速的也是时间的函数， 它是速度的导数，是速度变化的快与慢，当然就是位移变化的快与慢的快与慢！ 有的函数求了导，导数又被求导，再求导，再求导，再再求导…… 这，就是高阶导数。反复求导直至第n阶，到第（n+1）阶是不可导或是某邻域内， 导数恒等于0，则称之为n阶可导。 可导的阶数是衡量函数图像连续性强弱的重要指标。
加速度是位移的二阶导数。对导数求导得到的函数是二阶导数， 而原来的导数则是一阶导数，二阶导数求导得三阶导数，三阶求导得四阶…… 如此，n阶导数，用f(n)(x)表示。注意这里的n是带括号的。
为什么要单独把二阶导数拿出来讲呢？这和二阶导数的意义有关， 在绘制函数图像时，无论是手工画还是拿机器画，都是非常重要的。 在此之前，请认识另外几个概念。大家看下面的图
发现了吗？其实在单调性发生改变时，会出现局部最值点。 这样的局部最值点我们称之为极值点。就像图里的那样，左方单调递增， 它在最右边，故最大；右方单调递减，它在最左边，故最大。 那就是两边最大呀！反之，它得是两边最小的。要是可导， 那就是左侧f'(x)＞0,右侧f'(x)＜0，至于中间，肯定是等于0喽。 只是，它是整个函数的最值吗？不一定，还需要和其它的极值， 以及定义区间的端点值比较，综合研究得出结果。要找到极值呢， 就得令一阶导数等于0。只不过嘛，别以为一阶导数等于0了， 就真的是极值点。极值点好歹是局部最值点，附近其它的值都与之 不等。别以为常函数处处极值，不可能的， 极值点不仅仅是函数值最大或最小，其去心领域内的函数值都比它小或大！
还有一点要注意的，不可导点也能作为极值点。
在极值点中，函数值在领域里大的那个叫极大值，小的那个叫极小值。 对应的自变量的大小便是极大值点和极小值点。 好，现在麻烦各位思考一个问题，极大值一定比极小值大吗？ 由于其定义都是限制在一个个微小的领域内的， 极大值点和极小值点不在同一个邻域，造成了二者没有必然的联系。 因此，极大值不一定大于极小值。只是对于可导函数而言， 相邻的极值有的确这种关系。
请君细看，绘一阶导数之图像：随着自变量无限接近极值点， 极大值点左方导数大于0，越来越接近0，越来越小；右方导数小于0， 越来越接近0，越来越大。极小值点左方导数小于0，越来越大； 右方导数大于0，越来越小。要是有二阶导数，很容易判断其符号。
知道了二阶导数在极值点的意义后，让我们来看看函数的另外一种性质。 这种性质是和二阶导师密切相关的。 刚才的讨论只是围绕着极值点及其微小的邻域，接着就需要把这个结论推广， 让我们来看看二阶导数在极值点以外的其它点代表了什么。 （当然前提是它得存在。）如果一个函数单调递减，而且减小地越来越慢， 换言之，一阶导数小于0，二阶导数大于0，那么这图像就像是铲子一样。 就这样的趋势变化下去，待到极值点右边，函数单调递增而且还是越增越快， 现在一阶导数大于0了，而二阶导数还是大于0。就这图像，在往左的铲子。 整体上说，极值点就是位于两把相对的铲子之间。 然后我们在图像上随便画条割线，看，你发现了什么？ [f(x1)+f(x2)]/2＞f((x1+x2)/2) 这就是铲子的形状特点。图像是向下有所突起的，反过来说，就是向上凹陷的。 那要是铲子不是这样正对着，而是铲底向上正对着呢？那就规律相反呵。 [f(x1)+f(x2)]/2＜f((x1+x2)/2)
函数的这种特性叫做凸凹性，不过也有人管它叫凹凸性。不管是什么性， 反正就是这个意思。如果满足 [f(x1)+f(x2)]/2＞f((x1+x2)/2) 那就是凹函数；如果满足 [f(x1)+f(x2)]/2＜f((x1+x2)/2) 那就是凸函数。上述内容即为二阶导数在其存在的地方所代表的意义。 和上面极值的注意事项一致，并非只有二阶可导才有凸凹性， 就算函数本来就有很多地方不可导，甚至都不连续，有时也可以具备凸凹性。 我们今天说的结论，其实只是在为此找到一个充分条件而已，它不是充要条件。 不过，凸凹性的具备还是需要一定的条件的，那就是， 函数在一个连续的区间里，必须一直有定义。
单调性多为局部性质，有界性时而是局部性质，时而整体性质。而凸凹性， 多为局部性质。单调性有单调递增区间和单调递减区间， 而凸凹性也有其凸区间与凹区间。