微积分略讲（4）
数学和计算机科学板块_辛酸网
By TSherry
1.对于复合函数，内外连续，则整体连续
2.所有初等函数在其定义区间内都连续
3.有界性与最大值最小值定理：凡连续于闭区间的函数，
在该区间上必有界，而且一定能取得最大值和最小值
4.介值定理：连续于[a,b]的函数f(x)，设f(a)=A,f(b)=B,
比存在m∈(a,b),使得f(m)的大小在f(a)和f(b)之间
实际上，这个定理还可以进一步推广——不仅仅是在A，B
之间的函数值都能取到，而且在该区间的函数最大值和最小值之间，
所有的取值都可以取到
5.两点存在定理：连续于[a,b]的函数f(x)，
若f(a)f(b)＜0，那么(a,b)上必有f(x)之零点。但是只知道有，
不知道有几个。
现实当中有太多太多的事物是变化的，辩证法告诉我们，
要用发展的眼光看问题。导函数也是函数，简称导数，
是微积分的基本概念，它是衡量变化的有力工具。
最早被研究的导数当属速度了吧。初中，甚至小学时我吗就学过，
机械运动的快慢有三种情况：相同时间比位移，相同位移比时间，
或者比较单位时间的位移。
科学地讲，
我们用平均速度来衡量运动的快慢。当时间差趋于0，
得到的就是瞬时速度。一般地，比较不同函数的变化快慢，
我们用自变量在相同变化时因变量的多少来衡量。这个用来衡量的值，
就叫平均变化率。如果自变量趋于0时，平均变化率有个极限，
就管它叫瞬间变化率。
这瞬时变化率是和自变量的值有关的吧？自变量确定了， 瞬时变化率就确定了。所以，在有意义的情况下， 瞬时变化率就是自变量的函数。这个函数就叫导函数，简称导数， 对于函数y=f(x)的导数，记作f'(x),y'或dy/dx。 如果一个函数在自变量取得某个值时有导数，就说它在此可导。 若是在x=x0处f(x)可导，则此处导数还可以记作 (dy/dx)|x=x0
显然，由定义可得函数y=f(x)导数的定义式为 lim x→x0 △y/△x,在△x→0时，如果△y→∞或是不为0的常数, 则△y/△x→∞，那就是没极限了。因此，可导函数在△x→0时必有△y→0， 如果△x≈0，那么△y≈0，而且要是x相等，我们得到的y也相等。 所以在可导的情况下，要是x近似相等，那么y也就近似相等。△y→0， 那就意味着，f(x)→f(x0)。把这样的话再读一遍，不难发现， 这不正好满足了连续的定义么？想必大家学过高数以后都见过下面的图， 我是在知乎上找到它的。图片链接为 这个
在弄清楚导数的几何意义前，请大家思考一个问题：什么是切线？ 你画过圆的切线吗？你画过椭圆的切线吗？那时你画的又是什么呢？ 你一定知道，那是和圆或椭圆只有一个交点的直线。但是， 这并非切线完整的定义。我说，下图两条直线都是切线，你信吗？
应该说，在一个任意交点附近很小很小的二维平面范围内，（后面会学到， 其实就是二维邻域）曲线上除交点外任意一点都落在该直线同侧， 就把这条切线成为切线。但是，在这里相切，不代表在那里就没有交点。 有可能一条直线在这里是切线，在那里就成了割线。这样的切线表述， 是包含了圆锥曲线的切线的，更具有一般性。 我们在导函数理论中的切线就是这样的切线。
现在我们研究可导函数y=f(x)的图像，在x=x0处画一条切线， 把附近的图像上某一点，和点(x0,f(x))连起来，显然， 直线的斜率(f(x)-f(x0))/(x-x0) 就是这里的平均变化率。令x→x0，得：这条直线的斜率趋于 f'(x0)，而这条直线也和刚才画的切线越来越接近， 最后合二为一。可见，导数的几何意义就是函数图像在这里的切线斜率。
如图，在图像上画两条割线，斜率一正一负。让交点越来越近，割线变切线。 由于导数的值等于切线斜率，所以直线斜率大于0对应导数大于0， 恰好这里及附近，原函数是单调递增的。 那要是导数小于0呢？函数就单调递减。这么说来， 导数等于0就对应了切线是平的，代表的变化趋势是不增不减。
不过这样在一个极小的领域里讨论，那也是很小很小范围内的局部性质。 要是在一个区间内，导数处处大于0，函数就是严格单调递增的。 但是反过来，严格单调递增的可导函数是不是说，导数处处大于0呢？ 非也，非也！例如，函数f(x)=x3在x=0处的切线就是x轴。 但是这个函数的确是严格单调递增。只是，对于领域U(0)来说， x轴仅在x=0处是切线，在别的地方不是。也就是说，与x轴平行或垂直的切线， 要存在，就只能存在那么一下，不能持续存在。 哪怕是自变量变化了很小很小的范围。
你看，对于单调的函数来说，导数为0的话，就绝对不能是持续的等于0。 要不然切线的斜率为0了，割线的斜率也为0，那么函数值就不变了， 在这一段成为常函数。这与单调性矛盾啊。最后，科学家们结果一系列研究， 终于得出了导函数与单调性之间的一个重要而全面的真命题：
对于可导函数f(x)，其单调递增（或递减）的一个充要条件是， f'(x)≥0（或f'(x)≤0）恒成立，并且f'(x)=0的点的数目有限。