微积分略讲（3）

极限运算法则

  下面的lim同时包括自变量趋于无穷大和有限值的情况， 而且对于不同的极限来说还是自变量的同一个变化过程。
  和或差的极限等于极限的和或差： lim a ± lim b =lim(a±b)
  积或商的极限等于极限的积或商：（相除时要保证b≠0） lim a *or/ lim b =lim(a *or/ b)
  如果limf(x)存在，n是不随x的改变而改变的正整数，则 lim[f(x)]ⁿ=[limf(x)]ⁿ
  若从自变量变化的某阶段开始，恒有φ(x)≥ψ(x), 设limφ(x)=a,limψ(x)=b,则a≥b

无穷大和无穷小

  首先声明，这里所说的无穷大和∞不是一回事， 而是一种关系。我们规定在自变量的某一变化过程中， 极限为∞的函数叫做自变量在该变化中的无穷大。 至于无穷小呢？定义与之类似，只不过极限的值为0罢了。 像我们之前提到的庄子的捶，其长度就是日期趋于无限久的无穷小。 无穷小一般用o(x)表示。并且有一句显而易见的废话： 无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大。 这句话常用于求极限（尤其是后面的洛必达法则）。

无穷小的关系

 设有a,b两个关于x的无穷小，当x发生对应的变化时，
    若lima/b=0,a是b的高阶无穷小
    若lima/b=∞,a是b的低阶无穷小
    若lima/b=c≠0,a是b的同阶无穷小
    若lima/(b^k)=c≠0, a是b的k阶无穷小
    若lima/b=1,a是b的等价无穷小

无穷小的运算和几个等价无穷小

 相加：有限个无穷小相加还是无穷小，无限个无穷小相加不一定
 相乘：有限个无穷小相乘还是无穷小，无限个无穷小相乘不一定
    推广：有界函数和无穷小相乘还是无穷小

  在x→0时，有以下的等价无穷小：

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e^x~x~ln(x+1)~sinx~tanx~arcsinx~arctanx
1-cosx~0.5x²     (1+x)^1/n-1~x/n
x-sinx~x³/6   

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  在实际计算中，若被求极限的式子是以分子比分母的形式出现， 并且分子和分母都是以各因子相乘的形式出现，那么当因子有等价无穷小时， 可以直接替换。但是在相加减，或者某一项的分子分母之因子中， 不可替换。

极限存在准则

单调有界定理

  单调有界的数列必有极限。

夹逼定理

  在x变化的某个过程中，若自某阶段开始，恒有g(x)≤f(x)≤h(x) 且limg(x)=limh(x)=A,则f(x)必有极限，limf(x)=A。对于函数而言，如此。 对于数列而言，当n→∞，亦如此。

  这个名字很搞笑的定理，可以通过极限的定义来证明。 取一个足够靠前的过程之状态（例如数列极限的N，x→x₀ 时的足够小的|x-x₀|等），任取δ＞0，都有 |g(x)-A|＜δ，|h(x)-A|＜δ。去绝对值，得 δ-A＜g(x)＜f(x)＜h(x)＜δ+A   补上绝对值，符合极限的定义，证毕。

柯西审敛准则

  对于函数f(x)，若x→∞时，任取δ＞0，都存在X，使得任取x₁, x₂＞X，都有|f(x₁)-f(x₂)|＜δ， 则：  f(x)有极限。
若x→x₀，任取δ＞0，都存在m∈去心邻域(x₀),使得 任取x₁,x₂∈(x₀，m)，都有 |f(x₁)-f(x₂)|＜δ， 则：  f(x)有极限。
  对于函数而言如此，对于数列而言，当n→∞，亦如此。

上图左起：单调有界定理，夹逼定理，柯西审敛准则

连续性

  什么是连续？连续就是连起来啊！可是什么是连起来呢？ 就是不断啊！曲线如果是连续的，那么它就是不断的，说得高大上点， 是不间断的。不过新的问题来了，何谓不间断耶？二维平面， 未一直走，而一步跳过去，注意，是在二维平面中， 而非仅仅是一维的跳。ひゃ！反过来，不跳不就是连续了吗？ 那我走？走啊走，沿着这条曲线。

  如果这条曲线恰好就是函数的图像呢？我们就说，这个函数连续。 看看它的因变量与自变量吧！每当自变量变化量很小很小时， 我们在坐标平面上的位移也很小很小，因变量也不怎么变化。 于是我们得到了函数连续的第一个定义：(limΔx→0 Δy)=0 而我们能够沿着曲线一直走，还得得益于一句废话————这曲线上， 点都是挨在一起的！如果在x=x₀处函数连续， 那么在此函数图像上的那个点，应该和U(x₀)中的点， 相距很近很近。当x无限接近x₀时， y无限接近y₀，你看这，不就是和极限的定义很吻合吗？ 于是我们得到了函数连续的另一个定义：

如果lim x→x₀ f(x) = f(x₀) 则f(x)在此连续。

  和左右极限类似，连续也有为左右的连续。如果 lim x→x_0^- f(x) = f(x₀)， 曰左连续；反之，若 lim x→x_0⁺ f(x) = f(x₀)， 曰右连续。左右连续，则函数在此连续。如果函数在区间上连续， 就得考虑区间的边界。若其在区间(a,b)上任意的x的情况下连续， 我们就说，这个函数在开区间上是连续的。要是在x=a处右连续， x=b处左连续，那么该函数在闭区间上连续。

间断点

  如果函数在此不连续，谓之间断。凡是不满足连续的定义之任一条件， 皆为间断：一，没定义的，间断；二，有定义的，①在此无极限的， 间断，②有极限，但是不等于函数值的，间断。

  间断点有两类，如果左右极限存在，称为第一类间断点，否则， 就是第二类间断点。这是大体地区分，如果细分的话，一般而言， 有下列四种常见的情况：
  ①在此通过补充或修改定义，能够变得连续的， 叫做可去间断点；
  ②左右极限都存在，但是不相等的间断点，叫跳跃间断点；

  ③当自变量趋于这里时，函数值趋于无穷大的（可以同为+∞或-∞， 也可以一边是+∞，另一边趋于-∞，甚至只有一边趋于无穷大也行。） 是无穷间断点；
  ④函数值在此不断振荡，即当自变量趋于这里，函数变幻莫测， 左右极限都不存在的，是振荡间断点。

  可以看出，可去间断点和跳跃间断点都是第一类间断点， 而振荡间断点和无穷间断点都属于第二类间断点。间断种类的判断， 首先看是不是同时有左右极限，如果有，再看是否相等。相等的， 可去间断点，不相等的，跳跃间断点。如果不是同时具有左右极限， 就看是否至少一边趋于无穷大，是，则为无穷间断点。若一直振荡， 即为振荡间断点。

同时有左右极限	第一 类间 断点	可去间断点，左右极限相等
		跳跃间断点，左右极限不等
不同时有左右极限	第二 类间 断点	无穷间断点， 至少一边函数值趋于无穷大
		振荡间断点，函数值振荡，不稳定
		其它

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