微积分略讲（2）

数学和计算机科学板块_辛酸网

By TSherry

双曲函数

下面我们来讨论一类特别的函数——双曲函数。y=e^x 是科学研究中常见的一个函数。以此为基础，有双曲正弦函数 y=shx=[e^x-e^-x]/2 和双曲余弦函数y=chx=[e^x+e^-x]/2 还有双曲正切y=thx=shx/chx 现在画出其图像：

那么怎么记住这些函数的性质呢？想必大家都发现了，双曲函数和三角函数还是很类似的。请看，正弦函数是奇函数，双曲正弦也是奇函数；余弦函数是偶函数，双曲余弦也是偶函数； cos0=1=ch1=1；正切函数是奇函数，tanx=sinx/cosx，而双曲正切也是奇函数， thx=shx/chs；从名称来看，开头第一个字母或汉字一致。

但是在运算中二者不是很类似，sh(x+y)=shxchy+chxshy 这和sin(x+y)类似，不过需要重要的是，ch(x+y)=chxchy+shxshy 和cos(x+y)是不一样的，此处符号相同而非相反。

和反三角函数名称在三角函数前加一个“arc”不同，反双曲函数名称在双曲函数前加一个“ar”。

数列的概念

将数有序地排成一列，就叫做数列。数列的一个定义是：以从1开始相邻的正整数作为自变量的值，这样的函数叫做数列。数列中的因变量叫做项，而自变量一般用n表示，它也叫数列中项的序号（注意是序号，不是项数）。除了一般的函数抽象地写作f(x),数列还可写成{a_n}

就像函数Y=f(x)有时会有解析式一样，数列也可以有一个统一的式子，这个式子叫做通项公式，多以a_n=f(n)的形式表示出来。被通项公式表示的项叫做通项。没错，因为数列就是一种特殊的函数，通项公式就是其解析式。但是就像有的函数写不出解析式一样，有的数列写不出通项公式；就像有的函数可以用不止一个解析式表示，有的数列也能够同时满足不同的通项公式。此外，还有一种式子叫做递推公式，它可以根据前面的项来推出后面的项。按照递推公式，知道了第1项，就知道了后面的项。例如，斐波那契数列的递推公式为 a_n=a_n-1+a_n-2

数列的极限

极限，是一个神奇的词汇，无限接近而在接近的过程中不相等。早在《庄子·天下》就有“一尺之捶，日取其半，万世不竭”之言。用现在的话说就是lim_n→∞(0.5)ⁿ=0。天数嘛，一天两天的，都是正整数。所以庄子的捶的长度恰好构成了数列，还是等比数列。不过庄子不可能真的去切下去，只要切上几天，这捶得短到看不见了。你若是动用显微镜倒还能继续，再过几天，显微镜都派不上用场了。此时，捶已经被切得很短很短，宏观上看就相当于不存在一样——反正你有看不见，它又不影响什么，相当于没长度了。好家伙，越来越短，要多短有多短。倘若启动了更高级的显微镜去看，说不定还能看见呢，那就再切，切到无论用什么手段都看不见的地步！这样一来，任取一个长度，作为看得见和看不见的标准，捶的实际长度都小于这个标准，那么，对我们来说它就相当于没长度，相当于不存在了。要多短有多短！标准越来越短，捶越切越短，可见：
任取δ＞0作为标准，都存在正整数N＞0，使得任取正整数n＞N，第n天，捶的长度小于这个标准，可以视为被切没了。

在此给出数列极限的定义：对于数列{a_n}和一个定值A，任取δ＞0，都存在正整数N＞0，使得任取正整数n＞N，都有 |a_n-A|＜δ，则A就是这个数列在n→∞时的极限。

凡是有极限的数列，都叫收敛数列，否则就是发散数列。

数列极限的特点

唯一性

收敛数列的项在n足够大时会与极限A高度接近，甚至有时会相等。如果极限不唯一，那么取任两个极限之间，都会破坏δ的任意性。所以，收敛数列的极限唯一。

保号性

如果A≠0，那么当a_n和A高度接近甚至相等，取δ=|A|/2，有 δ²≤a_n²≤A² 即a_n和A同号。

有界性

无界的一个前提条件是，自变量得有无数个值，倘若自变量的可能取值有限，那么就算因变量之间的差异再大，也只能取有限个值。在收敛数列的定义中，第1到第(N-1)项的数目是有限的，所以其项的值的可能性，也是有限的。易知前(N-1)项有界。而后面的武侠多个项由于收敛，也是有界的，所以整个收敛数列是有界的。

收敛数列和子数列的极限相等

从原来的数列中任取上几项，或者无限项，并且保持原有的相对的先后关系不变，这样的数列叫做子数列。子数列的项保持了原来的次序，所以如果原来的数列收敛，它也是收敛的。

函数极限

现在，让我们把数列极限的概念推广到各种函数，得到函数极限的概念。但是函数极限的概念和数列极限不同，因为函数的定义域可以包含连续的区间而数列不会。函数极限分为两种，一种和数列极限一样，自变量趋于无穷大，只不过自变量可以连续地趋向无穷大。另一种是趋于有限值，这是数列极限所没有的。现在给出函数极限的定义：

趋于两边∞	对于函数f(x),当x→∞，任取δ大于0，都存在x₀, 使得任取x，当\|x\|＞x₀成立时，\|f(x)-A\|＜δ。
趋于+∞	对于函数f(x),当x→+∞，任取δ大于0，都存在x₀, 使得任取x，当x＞x₀成立时，\|f(x)-A\|＜δ。
趋于-∞	对于函数f(x),当x→-∞，任取δ大于0，都存在x₀, 使得任取x，当x＜x₀成立时，\|f(x)-A\|＜δ。
趋于有限值	对于函数f(x),当x→x₁，任取δ大于0，都存在x₂, 使得任取x，当 \|x-x₁\|＜\|x₁-x₂\| 成立时，\|f(x)-A\|＜δ。

看到了吧？函数极限的定义有四个，比数列极限复杂多了。

好，现在细看这四行的表格，可以发现不仅函数极限可以分为趋于无穷大和趋于有限值的，而且趋于无穷大还可以进一步细分。或是趋于两边的无穷大，即x一会儿变得非常大，一会儿变得非常小；或者就是很大很大，趋于+∞；或者就是很小很小，趋于-∞，各有说法。当然，根据趋于两边的无穷大的说法，应该说，趋于+∞和-∞时， f(x)取得相等的极限，才能说x→∞时有极限。

如果把直线 y=极限画出来，它就是函数图像的水平渐近线。

需要注意的时，当x→x₀，是从两边接近，也就是说，在接近的过程中，x时而大于x₀，时而小于x₀。如果仅仅是从左边趋于x₀记作 x→x₀^-，如果是从右边趋于x₀，记作x→x₀⁺。从左边趋于所得的极限值叫左极限，从右边趋于所得的极限值叫做右极限。和x→无穷大类似，只有左右极限相等，才能说有从两边趋于所得的极限值。