微积分略讲（1）

微积分是个什么东西

  微积分是一套关于数值变化特点的理论，由牛顿和莱布尼茨这对冤家所开创。 它主要分为微分和积分两大部分，同还包含数列极限、级数等内容。

映射的定义

  我们知道，许多事物之间都存在着联系，其中的一些事物， 存在着对应的关系。倘若是一一对应，那么这样的关系， 就叫做映射。映射的定义可以表述为： 任取集合A中的元素x，都有且只有集合B中的一个元素y与之对应， 那么x和y的关系就是映射关系

  其中x叫原像，y叫做像，A叫做定义域， B中所有像的集合叫做值域。那么为什么定义域和A是同一个集合呢？ 我们可以看到，映射的定义中，关于x的描述具有任意性， 每一个x都在这个映射关系中存在着。也就是说，映射在整个A集合中都是有定义的。反过来， 由于A可以被包含，即存在集合C使得C包含A，那么在C到B上有同样的对应关系的另一个映射， 而这个映射和原来A到B的映射不是同一个映射，所以定义域也含于A。 可见，A和定义域是同一个东西。

  但是在映射的定义的另一边，显然只具备存在性，而没有任意性， 所以值域含于B而不一定就是B。显然，确定一个映射的三个要素是：集合A和B， 以及对应关系。

映射之特殊情况

  满射：B和值域是同一个集合的映射
  单射：x不同，则y必不同的映射
  双射：又叫一一映射，既是满射也是单射
  逆映射：如果从y到x也有映射，就是原来映射的逆映射
  函数：A,B都是非空数集的映射（这里仅指一元函数）
  泛函：A是非空集合，B是数集的映射
  复合映射：集合A到B到C的映射，也是A到C的映射

函数

  我们知道，函数是一种特殊的映射，其抽象化的表示方法为y=f(x)。 当定义域和值域都是非空数集时，映射就变成了函数。 其中x叫做自变量，y叫做因变量。 现在根据上面的讨论，我们可以确定，函数的三要素是 定义域，值域，对应关系。现在我们来讨论一下函数的几种常见性质。

奇偶性

  不同的函数有着不同的性质，倘若是一些规律性， 就意味着因变量的不同的取值之间是有关系的。这样一来， 我们就可以根据自变量在特定取值时，因变量的值， 来推出当自变量取得其它值时因变量的值。奇偶性是函数的一种特殊性质， 如果函数具有奇偶性，就可以通过x＞0时的性质来得出x＜0时的性质。

  奇偶性，是反映函数的对称性的性质。如果一个函数满足， 任取定义域中的元素x，都有-f(x)=f(-x)，则该函数叫做奇函数， 要是画出其图像，那么图像关于原点中心对称。
  如果一个函数满足，任取定义域中的元素x，都有f(x)=f(-x)， 则该函数叫做偶函数，要是画出其图像，那么图像关于y轴轴对称。

  当然不是所有的函数都具有奇偶性，比如y=lnx而且一个函数可以既是奇函数， 又是偶函数，就比如常函数y=0。不过，无论是奇函数还是偶函数， 只要x=a时有定义，x=-a时就必有定义。所以我们可以得出：
  无论是奇函数还是偶函数， 定义域都一定是关于原点对称的！

  除了常函数以外，各种函数的函数值都是要随着自变量的改变而改变的， 由于奇偶性是特殊的对称性，所以除了函数值本身是对称的以外， 函数值的变化也是对称的。对于奇函数而言，随着x的绝对值越来越小， 函数值若在一边越来越大，则在另一边就越来越小，反之亦然。 对于偶函数来说，随着x的绝对值的减小，函数值在两边的变化却是一样的。 直观地，奇函数自身关于原点是中心对称的，其变化却是轴对称的， 而偶函数却恰好相反。显然，在讨论到后面的导函数时我们会发现， 如果可导函数有奇偶性，那么奇函数的导数是偶函数， 偶函数的导数是奇函数。

周期性

  有些函数具有周期性，这大大地方便了我们对问题的研究。 因为只要弄懂了一个周期内的规律，就能够不断地复制粘贴， 得到整个函数的信息。但是首先我们得弄清楚什么是周期。 其实大多数情况下我们说说的周期，和最标准的周期之定义， 不是真正意义上的吻合。平时所说的“周期”一词是狭义的， 广义的周期范围更大。一般地，在定义域内若任取x，都有 f(x)=f(x+T)，则T就是f(x)的一个周期，无论大小。 它可以是正的，也可以是负的，还可以是0。

  可见，我们平时所说的“周期”仅仅指众多周期的值的那个。通常， 这个周期叫做最小正周期，一方面是正的，另一方面在正的里面最小。 （当然你要是非跟我扯常函数的周期为0，那就是例外了。）

  有时函数的对称性可以妙用：当函数图像关于两条垂直于x轴的直线对称时， 该函数即为周期函数。如果对称轴垂直于x轴，设其为x=a，易得： f(a-x)=f(a+x)，那么，当直线x=b（b≠a）也是对称轴时，不妨设b>a有： f(x+2(b-a))=f(b+x+b-2a)=f(a+a-x)=f(a-a+x)=f(x)   故曰：当函数图像关于直线x=a，x=b对称时，其最小正周期为|b-a|。

反函数和复合函数

  在y=f(x)的函数关系中，若是任取值域中的一个元素y， 都有唯一的定义域中的元素x与之对应，那么x也是y的函数， 这就是反函数。显然，函数的逆映射就是反函数。我们记它为 x=f^(-1)(y)。由于人们一般习惯于x表示自变量，y作因变量， 在此对调x和y为：y=f^(-1)(x)。 画出图像，我们可以发现，原来函数图像上的每一个点， 横坐标成了纵坐标，纵坐标成了横坐标。但函数y=x的图像相当于不变， 于是 反函数和原来的函数，图像关于直线y=x对称。

  要是集合A到集合B有一个映射，集合B到集合C有一个映射，那么不难看出， A到C就有一个映射，这个映射就叫做复合映射。放在函数关系中， 就是复合函数。设ABC中的数为x，u，y。我们能发现，任取(x,y)， 都有u和这个坐标对应。但是反过来，任取一个u，是否有坐标(x,y) 与之对应呢？不一定。B在一方面包含u关于x的函数之值域， 一方面又作为y关于u之函数之定义域。B是包含内层值域的集合， 但不一定与之相等。也就是说，B不一定就是内层的值域。推广这个说法， 各种映射关系都是如此。

有界性

  不同的函数值域可能不同。有的函数，最大值也很小，有的函数， 最大值也很大；有的函数值域包含了连续的区间，有的就是孤立的点； 有的值域甚至可以是实数集R……如果|y|的取值可以很大很大， 要多大就有多大，即函数图像上的点可以距离x轴无限远，那么， 当我们把眼界无限扩展，就有这样的概念：   任取M大于0，都存在定义域内的一个数x₀, 使得|f(x₀)|＞M，则称f(x)为无界函数，否则，曰有界函数。 有界函数的情况，叫做函数的有界性。这可以是整体的性质， 也可以是局部的性质。下面我们来看在局部上的有界和无界。 （不过如果这个局部扩展到了整个定义域，就又成了整体性质）

上界和下界

  在定义域的一个非空子集X上，若存在一个数M，使得任取 x₀∈X，都有f(x)≤M，则称M为f(x)在X的一个上界。 反之，都有f(x)≥M，则M是f(x)在X的一个下界。 如果一个函数既有上界又有下界，那么该函数在这里有界。 反之，有界函数不但有上界，而且有下界。

下一篇